So-net無料ブログ作成

第17回 正項級数の収束・発散の便利な判定法 [ネコ騙し数学]

第17回 正項級数の判定法

 

前回、比較判定法を紹介しましたが、万能ではないけれど、正項級数の便利な判定法を紹介しますにゃ。

 

 

定理 (コーシー・アダマールの判定法)

正項級数第17回_htm_4e22bbe6.gifにおいて第17回_htm_58f9aa12.gifならば、つぎが成り立つ。

(1)0 ≦ r < 1 のとき、第17回_htm_4e22bbe6.gifは収束する。

(2)1 < r < ∞ のとき、第17回_htm_4e22bbe6.gifは発散する。

 

 

【証明】

(1)r < k < 1 のあるkをひとつとると、仮定よりある自然数m

第17回_htm_m26c03431.gif

となるものが存在する。

よって

第17回_htm_3344b125.gif

となり、0 < k < 1 より第17回_htm_482deba.gifは収束し、比較判定法より第17回_htm_4e22bbe6.gifは収束する。

 

ここで、

第17回_htm_28a45cc0.gif

よって、

第17回_htm_3d51a7a8.gif

ね。

 

 

(2)は(1)の対偶だから証明は不要の気がするけれど、r > k > 1 のひとつをとると、仮定より

第17回_htm_m1a28c6e9.gif

になるmが存在し、k > 1 のとき第17回_htm_482deba.gifが発散するので、比較判定法より第17回_htm_4e22bbe6.gifは発散するケロ。

 


ここは読むな!! 読むと呪われるにゃ!!

だ・け・ど、

r < k < 1 のあるkをひとつとる」

というのを不思議に思わないケロか?

「なんで、そんなkを取れるといえるのか」と疑問に思わないケロか?

極限の定義より、任意の正の数εに対して

第17回_htm_m20ca92aa.gif

を満たすが存在するにゃ。

第17回_htm_m6cb8aa0a.gif

で、たとえば、ε = (1 – r)/2  > 0 にとると、

第17回_htm_2d7324fe.gif

だにゃ。

この(1+r)/2とすれば、

第17回_htm_77662af6.gif

だから、r < k < 1 となり、かつ

第17回_htm_1574c59b.gif

となるケロ。

 


 

 

定理 (ダランベールの判定法)

正項級数第17回_htm_4e22bbe6.gifにおいて、第17回_htm_m258ce70f.gifのとき、次のことが成り立つ。

(1)0 ≦ r < 1 であるとき、第17回_htm_4e22bbe6.gifは収束する。

(2)1 < r < ∞ であるとき、第17回_htm_4e22bbe6.gifは発散する。


 

【証明】

(1)r < k < 1 をひとつとる。仮定より、次の自然数が存在する。
第17回_htm_79c3e913.gif

よって

第17回_htm_m1881b9dc.gif

となり、n > m のとき

第17回_htm_4dc4add.gif

級数第17回_htm_724f7ab9.gifは、0 < k < 1 より収束するので、第17回_htm_4e22bbe6.gifは収束する。

 

(2)は省略。

 

ちょっと危ない書き方だけれど、
を固定しているので第17回_htm_1aeefef9.gif第17回_htm_m64a00901.gifも定数になり、総和記号Σの外に出すことができるにゃ。

第17回_htm_m4b3ee0ce.gif

として、コーシー・アダマールの判定法の議論と同じになるケロ。

 

で、

第17回_htm_m61bc8f1f.gif

になるので、ダランベールの判定法はコーシー・アダマールの判定法に含まれるのだけれど、ダランベールの判定法の方が計算が楽なので、ダランベールの判定法が実際には良く使われるにゃ。



ここで、注意して欲しいのは、第17回_htm_m258ce70f.gif第17回_htm_58f9aa12.gifの極限値r = 1 のとき、この方法から収束するかどうかは判定できないんだケロ。

たとえば、

第17回_htm_784d8d93.gif

の場合、

第17回_htm_6d64ba8.gif

で発散。

でも、

第17回_htm_384f3dea.gif

の場合、

第17回_htm_3d3aed96.gif

で収束。

 

だ・か・ら、

r = 1 のときは、ダランベールの判定法やコーシー・アダマールの判定法で級数の収束の判定は出来ないにゃ。

 

 

では、問題。

 


問題 次の級数は収束するケロか?

第17回_htm_6f060a34.gif
【解】

(1)と(2)は、ダランベールの判定法を使うと、
第17回_htm_m17a5103d.gif

となるので、収束する。

(3)は、コーシー・アダマールの判定法を使うと、

第17回_htm_m343f347d.gif

よって、これも収束。

こういう風に、簡単に収束判定が出来てしまうケロ。

知っていると思うけれど、

n! = n(n-1)・・・2 (n ≠ 0)

0! = 1

のことね。


タグ:極限 数列 級数
nice!(0)  コメント(1)  トラックバック(0) 
共通テーマ:学問

nice! 0

コメント 1

一つだけ

⑵は⑴の対偶とありますが、対偶ではありません。
r<1⇒収束
なので、対偶をとるならば
収束しない⇒1≦r
のはず。
by 一つだけ (2019-08-02 13:41) 

コメントを書く

お名前:
URL:
コメント:
画像認証:
下の画像に表示されている文字を入力してください。

トラックバック 0

この広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。