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第13回 推定 [ネコ騙し数学]

第13回 推定


§1 母平均の推定


標本平均を用いると、標本調査から母集団の平均値を推定することができる。

いま、母集団からn個の標本を抽出し、標本平均、標本標準偏差sを得たとする。

母集団の平均をm、標準偏差をσとすると、標本平均の分布は、平均m、標準偏差の正規分布と考えてよいから、

  

は、標準正規分布N(0,1)に従い、正規分布表から

  

である。

したがって、95%の確実性で

  statics-13-00.png  

nが大きければ、母集団の標準偏差σは標本標準偏差sに近いと考えてよい。

したがって、
  statics-13-01.png  

このとき、上式が成立する確率は0.95だから、これを信頼度95%の推定といい、mが取りうる範囲を信頼区間といい、確率95%を信頼度という。

同様に、99%の信頼区間は

  

である。

 


問1 全国の中学3年男子から2000人を抽出し、その身長を調べたところ、平均値が161.5cm、標準偏差が6.5cmであった。信頼度95%で全国の中学3年男子の身長を推定せよ。

【解】

母集団の平均値をmとする。標本平均s=6.5(cm)n=2000だから

  statics-13-02.png

よって、161.5±0.28cmである。

(解答終了)


問2 ある都市の16歳の男子の中からまったく無作為に200人を抽出して、身長に関する下表のような度数分布を得た。これによって、この都市の16歳の男子の平均身長を信頼度95%で推定せよ。

(解答)


上の表から標本平均、標本標準偏差s=√36=6(cm)

n=200だから
  statics-13-03.png

ここで、

  

だから、165.5±0.8cm164.7166.3cm

(解答終了)

 


問3 ある市の高校3年生4万人に数学のテストを行った。この成績を母集団として、大きさ900の標本を選んだところ、その平均値が58.6点、標準偏差が12.0点であった。母集団の平均値を95%の信頼度で推定せよ。

【解】

標本平均、標本標準偏差s=12.0、標本の大きさn=900だから、母集団の平均値をmとすると、

  statics-13-04.png

だから、57.859.4点。

(解答終了)


問4 過去の資料によると、17歳男子の分布は、標準偏差5.8kgであることが知られている。95%の信頼度で17歳男子の平均体重を0.1kgの精度で求めるためには、何人の任意標本を選んだらよいか。

【解】

95%の信頼度の誤差は

  

だから、

  

になるように標本の大きさnを定めればよい。

よって、

  

したがって、約13,000人。

(解答終了)


n≧113.68²ではなく、n≧114²=12996としたほうがいいのかもしれないが・・・。



§2 母比率(母集団比率)の推定


工場で作られた製品の不良率を標本調査することによって95%の信頼度で推定すると場合について考えることにする。

母集団の製品全体の不良率をp、大きさnの標本中に含まれる不良品の個数を確率変数Xとすると、Xの分布は平均np、標準偏差の2項分布となる。

nが大きいとき、二項分布B(n,p)は正規分布とみなすことができるので、不良品の個数Xは、信頼度95%をもって

  statics-13-05.png

となる。

また、標本の不良率は

  

だから、
  statics-13-06.png

nが大きいとき、根号内のpに代用できるので、

  

となる。

以上のことをまとめると、次のようになる。


比率の推定

大きさnの標本中に、条件Aを満たすものがr個あれば、標本比率

  

に対して、母集団における条件Aを満たすものの比率は

  

の信頼区間にある。
なお、信頼度99%ならば

  

である。


問1 ある工場で、製品の中から任意に200個を抽出して調べたところ、30この不良品があった。製品全体の不良率pを、信頼度95%で区間推定せよ。

【解】

  

よって、信頼度95%で

  

(解答終了)

 


問2 ある新聞の世論調査で、有権者1000人についてある政党を支持するか否かについて調べたところ、そのうちの576人が支持者であった。有権者全体のうちその政党を支持するものの割合を、信頼度99%で推定せよ。

【解】
  statics-13-07.png

(解答終了)


信頼度95%ならば





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