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デカルトの正葉線 [ネコ騙し数学]

デカルトの正葉線

 

問題 デカルトの正葉線

  

で定まるxの関数yの極値を求めよ。

decart-happa-graph-001.png【解】

  

(1)式の両辺をxで微分すると、

  

両辺を3で割ると、

  descartes-siki-001.png

yが極値を取るときy'=0だから、

  

これを(1)式に代入すると、

  descartes-siki-002.png

x=0のとき、y=0(この点(0,0)では(3)式の分母が0になるので微分不可能)。

のとき、

極値の判定をするために、(2)式をxで微分しy''を求めると、

  descartes-siki-003.png

極値を取る点ではy'=0だから、

  descartes-siki-004.png

したがって、a>0のときはy''<0で極大、a<0のときはy''>0で極小。

(解答終)

 

(0,0)を極値と認めるかどうかという微妙な問題があるけれど、x³+y³–3axy=0で定まるxの関数(陰関数)yのときに極値を取ることだけは確かである。

また、x³+y³–3axy=0xyを入れ替えても成立するので――この曲線はy=xに関して対称――,x³+y³–3axy=0で定まるyの関数xが極値を取る点は曲線上の点となる。

 

偏微分を使うともう少しスッキリ解くことができるけれど、高校の微分の範囲でデカルトの正葉線で定まる関数の極値を求めることができた。

 

  

この曲線は、x=0のときy=0になるので、x≠0とし、t=y/xとおくと、(1)式は

  descartes-siki-005.png

したがって、

  

t=0のとき、(x,y)=(0,0)となるので、この曲線は

  

とパラメータ(媒介変数)tを使って表すことができる。

 

decart-happa-graph-002.pngパラメータtで表現された(4)を使うと、dy/dxd²y/dx²が次のように求められるので、これを使って極値や曲線の凹凸を調べることができる。

  descartes-siki--006.png

a>0のとき、d²y/dx²は、で負となるので曲線は上に凸、のときに正になるので曲線は下に凸である。

参考までに、a>0のときの、xtytの関係をグラフで示す。

曲線をパラメータ表示すると、xyの直接の対応が失われるので、直観的に理解しづらい!!

 

このグラフを見ると明らかなように、この曲線上の点を(x,y)とすると、

  

だから、|x|→∞のときt→−1である。

この曲線の漸近線をy=mx+nとすると、

  

したがって、デカルトの正葉線の漸近線の方程式は、

  

である。

原点O(0,0)における接線はy=0x=0で、原点O結節点である。

 

また、極座標x=rcosθy=rsinθを用いると、デカルトの正葉線は

  

r≠0のとき、

  

と表せる。

そして、この結果を用いると、ループ、曲線で囲まれた領域の面積Sは次のように求めることができる。

  

ここで、tanθ=tとおくと

  




タグ:微分積分
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MatildaGallenkamp

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by MatildaGallenkamp (2018-11-22 06:35) 

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