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2階常微分方程式の境界値問題を選点法で解く2 [ネコ騙し数学]

2階常微分方程式の境界値問題を選点法で解く2

 

問題 次の微分方程式を解け。

【答】

 

前回、この微分方程式の解を

と近似し、残差

をとし、重み関数wにディラックのデルタ関数

をとり、

となるようにを定める有限要素法の選点法を用い、選点を1/2とすることにより、

という近似解を得た。

 

しかし、こうして得た近似解の誤差が大きかったので、より精度のよい近似解を求める方法を考える。

 

そこで、(1)式を

とおくと、

となる。

このとき、

となるので、残差は

となる。

未知数がa₁a₂の2つなので、これを定めるために選点をx=1/4x=1/2に選び、その位置での残差を0とすると、

fem2-001.png

(10)と(11)から

fem2-002.png

という連立方程式が得られ、これを解くと、

となり、

という近似解が得られる。

 

fem2-graph-001.png計算結果を右図に示す。

(12)は(6)よりも厳密解(1)からの乖離が小さくなり、(1)の挙動をよく捉えていることが分かる。

 

(9)式の

とおくと、

と表すことができる。このψ₁ψ₂試行関数(Trial Functionと呼ぶ。

さらに、

とおくと、微分方程式は

と書くことができ、残差は

で表すことができる。

より一般に書くと、

これに重み関数をかけ、

となるように、この連立方程式(15)から、未知数を定め、微分方程式(13)の近似解を有限要素法重み付き残差法という。

この重み関数のディラックのデルタ関数

を用いるものを選点法といい、デルタ関数の性質から

になる。

n=2のとき、未知数はa₁a₂の2つだから、点をx₁x₂の2点を選び、連立方程式

を解くことによって、a₁a₂を定めることができる。

 

これが計算の仕組みというわけ。

 


タグ:数値解析
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