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ガラーキン法 [ネコ騙し数学]

ガラーキン法

 

微分方程式

境界条件を

とする。

ここで、Vは微分方程式が定義されている領域で、Sは境界面とする。

(1)の解u(x)が独立な試行関数(基底関数)を用いて

と近似できるとする。

このとき、

を残差といい、R=0のときは解uと一致する。

(3)に重みを掛け、

となるようを定める方法が有限要素法の重み付き残差法である。

 

この重みにディラックのδ関数

を用いるものが選点法である。

 

この重みに試行関数、すなわち、

とする方法がガラーキン法である。

 

例によって、微分方程式

を、がラーキン法を用いて解くことにする。

 

この微分方程式の近似解を

とすると、試行関数は

となり、残差は

となる。

したがって、

また、

したがって、

 

よって、

になる。

 

ガラーキン法による計算結果は次の通り。比較のために、選点法による計算結果も示してある。

ga-tab-001.png

fem3-graph-001.png

 

厳密解との差は殆ど無いので、グラフでは厳密解とほとんど重なってしまう。

 

この他に最小2乗法、モーメント法などがあるけれど、あくまで一般論ですが、有限要素法の中ではガラーキン法がもっとも精度がよいといわれている。


タグ:数値解析
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