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陰的オイラー法 [ネコ騙し数学]

陰的オイラー法

 

微分方程式

  

の解は

  

で与えられる。

この式の右辺の定積分を

  

と近似し、

  

と逐次的に微分方程式の近似解を求める方法を陰的オイラー法という。

 

等間隔の場合、すなわち、

  

のとき、

  

である。

 

  

このとき、陰的オイラー法は

  

となり、この漸化式を解くと

  

になる。

また、誤差も漸化式に従うとすれば、

  

のとき、すなわち、

  

のとき、陰的オイラー法は安定した解法になる。

 

λ=3h=1のとき、λh=3>2となり陰的オイラー法は安定であり、

  

に収束する。

しかし、この条件のときの微分方程式の解は

  

であり、陰的オイラー法による近似解は厳密解の挙動を表していない。陰的オイラー法による近似解が安定でかつ意味を持つのは、λh<0のときである。

数値計算でいう安定とは収束解が得られるという意味であり、その収束解が微分方程式の解であることを意味しないことに注意。

陰的オイラー法は、陽的オイラー法と同様に打切誤差がO(h²)程度で、しかも、方程式を解かなければならないので、実際に使われることはない。

たとえば、

  

の場合、

  

を解かなければならない。

この方程式は二分法やニュートン法を用いて数値的に解くことができるが、各段階でこの計算を行わなければならないので、計算量が多くなってしまう。理論的は話ではともかく、陰的オイラー法の打切誤差はO(h²)程度なので、とてもじゃないけれど、こんな計算は馬鹿らしくてやってられない。

 

参考までに、λ=1h=0.1のときに、陽的オイラー法と陰的オイラー法を用いて(6)を数値的に解いた計算結果を示す。

 

 

 

この場合、陽的オイラー法の方が陰的オイラー法よりも精度よく計算できていることが分かる。

 

λ=−1h=0.1のときは、次のようになる。この場合は、陰的オイラー法の方が精度よく計算できていることが分かるだろう。

 

 

 

また、一般的な傾向として、厳密解と比較した時、陰的オイラー法は大きめの値を出し、陽的オイラー法は小さめの値を出し、厳密解はこの2つの間に位置し、したがって、陽的、陰的オイラ法の近似解の平均をとれば厳密解に近い値を求められそうである。

そこで、λ=1h=0.1の場合について計算してみると、次のようになる。

 

 

 

予想通り、劇的に精度が向上したにゃ(^^)


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