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最大最小2 [ネコ騙し数学]

最大最小2


問題1 区間−1≦x≦1で定義された関数

について、次の問いに答えよ。

(1) とおいて、f(x)tの関数として表しなさい。

(2) tの取りうる範囲を求めなさい。

(3) f(x)の最大値、最小値を求めなさい。

【解】

(1) として、両辺を2乗する。

  

よって、

  


(2)
  

極値では、dt/dx=0になるので、

  

x=−1/√2は解として不適。

増減表は

hyou-01.png


graph-221.png

したがって、1≦t≦2+√2


(3)

  

とする。

  


hyou-02.png
よって、f(x)の最大値は1−√2/2、最小値は2√3−4

(解答終わり)

 

問題2 点P(x,y)が円の上を動くとき、

(1) x−y=tとおきtの変化の範囲を調べよ。

(2) 関数

  

の最大値、最小値を求めよ。

【解】

(1) 点P(x,y)は円上の点だから

  

とあらわすことができる。

したがって

  sai-sai-202.png

【別解】

x−y=tだから、y=x+t
(x,y)
は円周上の点だから

  

に代入すると、

  

xは実数だから、2次方程式の判別式をDとすると、

  sai-sai-203.png


【別解2】

graph-222.png

直線x−y=tと原点の距離d

  

直線x−y=tと円は共有点を持たないといけないので、

 


などなど、(1)については、色々な方法でtの範囲を求めることができる。

(2)

  sai-sai-204.png

よって、

  

で、

  

とおき、tで微分すると
  

極値をとるところではg'(t)=0だから

  

を解くと、

  

−√2/2≦t≦√2/2だから

  

したがって、増減表は

hyou-03.png

graph-223.png

(解答終了)



問題3 a0<a<1なる実数とする。放物線

  

に点(0,1)から2本の接線をひき、その接線とx軸との交点をそれぞれQRとするとき、△PQRの面積が最小となるように、aの値を定めよ。

【解】

graph-224.png

接点のx座標をαとすると、接線の方程式は

  

これが点(0,1)を通るので、
  sai-sai-207.png

よって、接線の方程式は

  

QRx座標をそれぞれq,rとする。

QRは、上記の接線とx軸、つまり、y=0との交点だから、y=0を代入すると、

  sai-sai-208.png

よって、△PQRの面積S

  

ここで、t=√aとおくと

  

となる。

Sが最小のとき、分母が最大になるので

  

とおき、g(t)の増減を調べる。

  

0<t<1だから、g(t)t=1/√3のとき、極大かつ最大になる。

t=√a=1/√3だからa=1/3のとき、Sは最小になる。

【解答終了】


タグ:微分積分

最大最小の問題(数学3) [ネコ騙し数学]

最大最小の問題


定理 連続な関数の最大、最小値の定理

閉区間[a,b]で連続な関数f(x)は、必ず、最大値と最小値をもつ。

関数f(x)が最大・最小になる点の候補は、極値をとる点、区間の両端、そして、微分可能でない点など。特に、区間の両端に注意!!


問題1

(1) 1≦x≦3のとき、関数

  sai-sai-siki-00.png

の最大値、最小値を求めよ。
(2) 0<x<πのとき、関数

  

の最小値を求めよ。

【解】

(1)

  sai-sai-siki-01.png

増減表をかくと



x



1





2





3



f'(x)



 



+



0





 



f(x)



1



増加



極大



減少



9/10



x=√2のときに最大値f(√2)=6(3−2√2)

x=3のときに最小値9/10

(2)

  

増減表を書くと



x



0





π/3





π



y'



 





0





 



y



 



減少



極小 √3



増加



 



graph-211.png

x=π/3のとき、最小値√3

(解答終了)

 


問題2 x>0のとき

  

の最小値を求めたい。


(1) とおき、Ptの関数として表しなさい。

(2) その結果を用いてPの最小値ならびにそのときのxの値を求めなさい。

【解】

  

の分母・分子をで割ると
  sai-sai-siki-03.png

で、

  sai-sai-siki-04.png

よって、

  

x>0のとき、相加平均≧相乗平均より

  

したがって、

  


(2)

  

これをtで微分すると、

  

したがって、Pは単調増加。よって、t=2のとき最小で、最小値3/2

  


の解は1だから、

x=1のとき、Pは最小で、最小値は3/2である。

(解答終了)


ちなみに、

  

のグラフは次の通り。

 

graph-212.png

問題3 関数

について、次の問に答えよ。

(1) sinx=tとおいて、ytの式で表せ。
(2) yを最大にするxの値はいくらか。
【解】
(1)

  sai-sai-siki-05.png
だから、

  


(2)

  sai-sai-siki-07.png

増減表を書くと、



x



1





1/2





1



y'



 





0





 



y



-7



増加



極大 13/2



減少



1




graph-213.png

よって、x=1/2のときに、yは最大になる。

  

を解くと

  

(解答終了)

問題2、問題3のように、変数を変換することによって、最大・最小値を求めることが楽になる場合がある。ただし、問題2、3のように変数の範囲、定義域が変化することに注意が必要。


問題4 第1象限の定点P(a,b)を通る直線と両軸の正の部分との交点をABとするとき、△OABの面積の最小値を求めよ。ただし、Oは原点とする。

【解】

graph-214.png

定点P(a,b)をとおる直線の傾きをmm<0)とすると、この直線の方程式は

  

したがって、Ax座標は

  

By座標は

  

よって、△OABの面積S

ここで、

  

とおき、mで微分すると、

  sai-sai-siki-11.png

したがって、f(m)

  

のとき、極大。

したがって、Sはこの時に極小、最小になる(f(m)Sは正負が逆転しているから)。

このとき、x=2ay=2bとなり、最小値は

  

また、このとき、PA(2a,0)B(0,2b)の中点である。

(解答終了)

こう解いたものの、この解答は良くないね。


相似を使って、解くことにする。


【別解】

graph-215.png

ABの座標をそれぞれ(x,0)(0,y)とし、P(a,b)からx軸におろした垂線の足をHとする。△AHP∽△AOBだから
  sai-sai-siki-08.png

したがって、△OABの面積S

  sai-sai-siki-09.png

これをxで微分すると、

  sai-sai-siki-10.png

したがって、x=2aのとき、極大かつ最大になる。

よって、面積の最大値は

  

このとき、y=2bだから、点P(a,b)A(2a,0)B(0,2b)の中点である。

【解答終了】


解答のわかりやすさで雲泥の差があるようだ。

悪い解答例として、問題3の【解】は、そのまま残しておくことにする。

タグ:微分積分

極値のちょっと難しい問題 [ネコ騙し数学]

極値のちょっと難しい問題


問題1
(1)関数

  

の極大値がb、極小値が1/bのとき、abの値を求めよ。

(2) (1)で得られたaに対する関数y=f(x)のグラフの概形をかけ。

【解】

(1)

  

(ⅰ)a+1>0のとき、x=−1で極大、x=1のとき極小。

  

bを消去すると

  

a+1>0だから、a=1。よって、b=3

(ⅱ) a+1<0のとき、x=−1で極小、x=1のとき極大。

  

bを消去すると

  

よって、不適。

以上のことより、a=1b=3


(2)


graph-220.png

(解答終了)



問題2 関数

  

x=π/4で極大値をとる。

(1) aの値を定めよ。

(2) x>0におけるすべての極大値の和を求めよ。

【解】

(1)

  

x=π/4で極大値を取るので

  kyokumuzu-siki-02.png


(2) 極値をとる点ではf'(x)=0でなければならない。

  

x>0における、sinx=cosxの解は

  

f''(x)を求めると

  

よって、
  kyokumuzu-siki-03.png

したがって、

  

のとき、極大。

  

したがって、極大値は

  

の等比数列。

よって、

  

(解答終わり)


問題3 nを自然数とする。関数

  

について、

(1) の極値および極値を与えるxの値を求めよ。

(2) x≧0のとき、

  

を求めよ。

【解】

(1)

  

を微分すると、
  

したがって、

nが偶数のとき、x=0で極小で極小値は0x=1/nで極大で極大値は

  

nが奇数のとき、x=1/nで極大で極大値は
  


(2) x≧0

  

で、

  

だから、

  

(解答終わり)
タグ:微分積分

ワンポイントゼミ16 平均値の定理を利用して・・・ [ネコ騙し数学]

ワンポイントゼミ16 平均値の定理を利用して・・・


この問題、解けますか?


問題

(1) 平均値の定理を用いて次の不等式を証明せよ。

  

(2) (1)の不等式を用いて、次の極限値を求めよ。

  


この問題の(1)は、対数の次の性質

  

を使うと、

  

になるので、f(t)=logtとし、[x,x+1]においてf(t)に平均値の定理を使えば

  

となるcが少なくとも一つ存在する。

  

だから、

  

x<c<x+1だから

  

となり、

  

になる。

よって、(1)は証明された。



問題は(2)!!


  

とおき、これの対数をとる。

  

(1)より

  

k<nだから

  

①と②より

  

だから、

  

n→∞の極限をとると

  

よって、

  

(2)の答えは

  


いい問題だとは思うけれど、大学受験の試験会場で、高校生がこんな問題を解けるものだろうか!!


ちなみに、

  


タグ:微分積分

ワンポイントゼミ15 リサージュw [ネコ騙し数学]

ワンポイントゼミ15 リサージュw


問題 平面上を運動する点Pがある。時刻tにおけるP(x,y)の座標がx=cos2ty=costであるとき、

(1) 点Pはどんな曲線をえがくか。

(2) 点Pの速さが最大になるときのPの座標を求めよ。

【解】

(1)
  


graph-193.png

(2) Pの速さをvとすると

  

とおくと

  

極値をとる点ではf'(t)=0だから、
  

sin2t=0のとき

  

cos2t=−1/16のとき,f''(t)<0となり、このときが極大、かつ、最大になる。

よって、

  

で、速さは最大になる。

(解答おわり)


大学入試の問題の多くには、大体、元ネタある。

そして、上の問題の元ネタは、リサージュ図形と呼ばれるもの。

リサージュ図形のもっともシンプルなものは次の形で表される。

  

そして、αβの値を変えると、次のような図形が得られる。


graph-194.png


赤はα/β=3のとき、青はα/β=4のとき、そして、紫はα/β=3/2のとき。


理系のヒト、音響や電気の仕事に携わっている人ならば、この図を見て、すぐに、ピンとくるのではないだろうか。

そう、オシロスコープのあの図形です。


平均値の定理の不等式への応用 [ネコ騙し数学]

平均値の定理の不等式への応用


平均値の定理

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば、

  

であるcが少なくとも1つ存在する。

平均値の定理は、微分積分において最も重要な基礎定理。そして、応用範囲の広い定理でもある。この平均値の定理を不等式の証明に利用するというのが今回の目的である。


平均値の定理を不等式の証明に使う場合、①よりは、次のように変形したほうが使いやすい。

  

f(b)−f(a)という関数の差の形が出たら、平均値の定理の利用を考える。


問題1 平均値の定理を利用して、x>0のとき、次の定理を証明せよ。

  

【解】

logtは、[x+1,x]で連続、(x,x+1)で微分可能。

したがって、平均値の定理より、

  

となるcが少なくともひとつ存在する。

x<c<x+1だから

  

(解答終わり)

 


問題2

  

とする。次の問いに答えよ。

(1) 0<x<aで減少関数であることを証明せよ。

(2) 0<x<ayの値の範囲を求めよ。

【解】
(1) yを微分すると

  

x<c

だから

  

x−a<0だから、y'<0

よって、y0<x<aで減少関数である。


(2)

  

よって、

  

また、

  

yは減少関数だから

  

よって、

  


graph-180.png

(解答終わり)

 


(2)は胡散臭くて嫌だな・・・。


問題3 すべての実数xに対して定義された関数f(x)の第2次導関数f''(x)がつねにf''(x)>0を満足するとする。このとき次の命題を証明せよ。

(1) cを定数とするとき、すべての実数xにたいして

  

が成立する。

(2) 任意の実数pqrに対して

  

が成立する。

【解】

(1)

  

とおく。

  

f''(x₀)>0だから、x=cのとき、g(x)は最小で、g(c)=0

よって、

  


(2)

  

とおく。

(1)より

  

片々を足し合わせると、

  

①より

  

よって、②は

  


graph-181.png

(解答終了)
タグ:微分積分

平面上を動くの運動2 [ネコ騙し数学]

平面上を動くの運動2


前回に引き続き、平面上の運動に関する問題を解くことにする。


前回より問題の難易度は少し上がりますが、基本的に、目くらましの、ただの計算問題!!


問題1 x軸上を一定の速さで運動する点Pがある。y軸上の定点Aから見るとき、APの角速度はAP²に反比例することを証明せよ。


fig-100.png

【解】

A(a,0)P(x,0)、さらに、∠OAP=θとすると、

  

これをtで微分すると、

  

で、

  

よって、

  


したがって、APの角速度はAP²に反比例する。

(解答終了)


問題2 平面上を運動する点Pの座標を(x,y)とし、時間tとの間に

  

なる関係が成立するものとする。

(1) 原点と点Pとの距離は時間に関係なく一定であることを示せ。

(2) 点Pが点(1,1)を通過してからはじめてx軸に到達するまで何秒かかるか。

【解】

(1) 原点と点Pの距離は

  

tで微分すると、

  

よって、原点と点Pとの距離は時間に関係なく一定である。

(2)

  

よって、この運動は原点Oを中心とする等速円運動。

fig-101.png

円の半径rは、点(1,1)がこの円周上にあることから

  

また、点(1,1)での速度は

  

だから、反時計回りの運動で、速さは

  

(−√2,0)に到達するまで

  

だけ移動するので、要する時間は

  


(解答終了)


問題3 Oを原点とする座標平面上で、点A(2,1)B(−2,1)を終点とするベクトルをそれぞれとする。時刻をtであらわすとき

(1) ベクトル

  

の終点はどのような曲線をえがくか。

(2) 上の点Pの速さの最大値、最小値を求めよ。

【解】

(1)

  

よって、

  

したがって、楕円

  

をえがく。

(2)

  
速さは

  

したがって、

最大値 4√2π (sin4πt=1のとき最大)

最小値 2√2π (sin4πt=−1のとき最小)

(解答終わり)


(1)で行っているのは、

  

という連立方程式を行列を使ってsin2πtcos2πtについて解き、その後、sin²2πt+cos²2πt=1に代入しているだけ。

①+2×②から

  

×②−①から

  

と解いたほうがずっと楽。

問題がベクトル的だったので、行列を使っただけです。


タグ:微分積分

ワンポイントゼミ14 物理的な思考法で解く [ネコ騙し数学]

ワンポイントゼミ14 物理的な思考法で解く


数学的な思考法ではなく、物理的な思考法で、等速円運動をする加速度の大きさを求めることにする。


原点を中心とする半径rの円周上を運動する動点があるとする。

図に示すように、

時刻tのとき、動点の位置が点P、時刻t+Δtのとき、点Qであり、PQにおける速度ベクトルを、さらに半径OPと半径OQのなす角度をΔθとする。


fig-a-01.png

等速円運動なので、

  

また、幾何学的な位置関係からのなす角度はΔθ

したがって、図に示すようなとが作る速度ベクトルの三角形は、頂角をΔθとする等辺の大きさがvである二等辺三角形になる。

  

とすると、の大きさは

  

Δθの大きさが十分に小さいとき、

  

と近似できるので、①より

  

したがって、加速度の大きさa

  

と近似される。

等速円運動なので、角速度ωは一定で

  

②に代入すると

  


微分積分を使わずに、等速円運動の加速度の大きさを求めることができた。


⑨で微分の知識を使っているのではないか?


OPQの面積は

  

であり、Δθが小さいとき

  

と近似できることは図形的に明らかだから、

  

⑨で微分は使っていない。

平面上を運動する点の速度、加速度 [ネコ騙し数学]

平面上を運動する点の速度、加速度


§1 速度ベクトル


平面上を運動する点Pの座標xyが時刻tの関数として

  

で与えられているとする。

graph-210.png

Pの時刻tにおける位置ベクトルを

  

時刻t+Δtにおける位置ベクトルを

  

とすると、
  vec-siki-01.png

Δt→0としたときの極限を、点Pの時刻tにおける速度、または、速度ベクトルといい、これをであらわすと、

  vec-siki-02.png

x方向の成分、y方向の成分を、x軸方向の分速度、y軸方向の分速度といい、であらわす。すなわち、

  vec-siki-03.png

の大きさ

  vec-siki-04.png

を速さという。

x軸のなす角をθとすると、

  vec-siki-05.png

であるから、の向きとと動点Pがえがく曲線の接線の向きとは一致する。


問 水平面とαのなす方向に初速度v₀(m/s)で投げあげた物体Pt秒後の座標を(x,y)とすれば、

  

で表される。

(1) Pはどんな曲線を描いて運動するか。

(2) Pが地面についた瞬間の速度の大きさと方向を求めよ。

【解】

(1)

  

これを

  

に代入すると

  


fig-099.png

(2) t秒後の速度ベクトル

  

とすると、
  vec-siki-07.png

t秒後に地面に到着したとすると

  vec-siki-08.png

t=0は解として不適。

よって、

  

大きさは

  

方向は
  hou-siki-00.png

したがって、θ=−α

(解答終わり)

Pの到達距離は
  hou-siki-01.png

したがって、sin2α=1、すなわちα=π/4=45°のとき、到達距離は最大になる。



§2 加速度ベクトル


速度ベクトルの時刻tにおける変化率を加速度、加速度ベクトルという。

時刻tにおける速度ベクトルを

  

時刻t+Δtにおける速度ベクトルを

  

とすると、
  

Δt→0として、点Pの時刻tにおける加速度

  

x方向の成分、y方向の成分を、x軸方向の分加速度、y軸方向の分加速度といい、であらわす。すなわち、

  

の大きさ

  

を速さという。

x軸のなす角をθとすると、

  

である。

 


問 点Pが半径rの円Oの円周上を一定の角速度ωω>0)で回転しているとき、

(1) 点Pの速度の大きさを求めよ。

(2) 点Pの加速度の大きさと向きを求めよ。

【解】

時刻t=0に点(r,0)を出発してからt秒後の点Pの座標を(x,y)とすると、

  

である。

(1) 点Pの速度ベクトルは

  vec-siki-10.png

よって、速度の大きさは

  vec-siki-11.png



(2) 加速度ベクトルは

  vec-siki-12.png  

加速度の大きさは

  vec-siki-13.png

加速度の向きは

  
よって、中心Oに向かっている。(解答終了)

 


問題 動点Pの運動がであるとき、運動の経路は楕円であることを示し、加速度の方向はこの楕円の中心に向かい、その大きさは動点の位置をPとすれば、ω²OPに等しいことを証明せよ。ただし、abωは正の定数とする。

【解】

  

よって、運動の経路は楕円

  

である。点Pの位置ベクトルを

とすれば、加速度ベクトル

  

よって、、加速度の方向はこの楕円の中心に向かい、その大きさは動点の位置をPとすれば、ω²OPに等しい。

(証明終わり)


タグ:微分積分

媒介変数で表された関数のグラフ [ネコ騙し数学]

媒介変数で表された関数のグラフ



問 次の関係式よりdy/dxを求めよ。

  

【解】

(1)

  


(2)

  




(解答終わり)

(1)、(2)からtを消去すると、

  

になるので、陰関数の微分を用いて次のように解くこともできる。

graph-206.png

(1)

  

(2)

  


陰関数ではなく陽関数に直し

  

を微分してもよい。

これらは、曲線の表現法の違いと考えることができる。

しかし、次のような曲線(サイクロイド)の場合、y=f(x)という陽関数の形に直すことは絶望的。したがって、媒介変数の微分法を使って、極値や曲線の凹凸、変曲点を求めないとならない。

 


問題1 次の曲線のグラフをかけ。ただし、a>0とする。

  cycloid.png

【解】

  

第2次導関数は

  

ゆえに、

  

したがって、yt=πのとき、すなわち、x=πaで極大で、極大値は2a

また、この曲線は0<t<2πで上に凸。

graph-207.png

(解答終了)

 


問題2 曲線

  

のグラフをかけ。

【解】

この曲線はx軸に関して対称なので、0≦t≦√2で考える。

  

さらに、

  

したがって、t=1の前後でd²y/dx²の符号が負から正に変わるので、(2,3)は変曲点。

t=0のとき、すなわち、x=0のとき、yは極大で極大値は4

以上のことから、次のようなグラフになる。


graph-208.png

(解答終わり)

このようにして、媒介変数で表示された曲線の極値、変曲点、曲線の凹凸などを求めることができる。

ちなみに、何故、このとき、−2≦x≦2になるのか。

  

だから、これをtで微分すると、

  

したがって、t=−1のときxは極小で極小値が−2、t=1のときxは極大で極大値は2となる。

さらに、次の図をかき、このような結果が出てくる。

graph-209.png


タグ:微分積分

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