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第6回 独立試行の確率と2項分布の問題 [ネコ騙し数学]

第6回 独立試行の確率と2項分布の問題


問題1 ❍、☓で答える6つの問題が与えられている。いまこの解答にするのに何も考えずにでたらめに❍、×をつけるとき、そのうちの正解数をXとする。

(1) X≧3になる確率を求めよ。

(2) Xの平均値(期待値)と標準偏差を求めよ。

【解】

正解数の分布は2項分布


(1)

  


(2) 平均値mと標準偏差σ

  

(解答終了)

 


問題2 日本人の血液型の10人に3人の割合がO型である。5人の日本人を選んだとき、そのうちのO型の人数をXとする。

(1) Xはどのような分布に従うか。

(2) Xの期待値と標準偏差を求めよ。

(3) 南方系のある人種から5人を選んだとき、そのうちの4人が O型であった。この人種が日本人よりもOがたが多いと判定したときの危険率を求めよ。

【解】

(1) 2項分布B(5,0.3)に従う。

(2) 平均値をm、標準偏差をσとすると、

  


(3) 日本人とO型の割合が等しいと仮定する。

つまり、p=0.3として、P(X≧4)の確率を計算すると

  

よって、危険率は3%である。

(解答終了)


危険率については検定であらためて説明することにするが、

「南方系のある人種の人たちに占めるO型のヒトの割合が日本人のそれと等しい」という仮説を立てると、5人中4人がO型である確率は0.03で非常にまれなことが起きているということになる。



問題3 さいころを50回投げるとき、1の目が出る回数をXとする。

(1) Xがいくらのとき確率は最大になるか。

(2) Xの平均値を求め、(1)で求めた値と比較せよ。

【解】

1の目が出る回数は2項分布に従う。


(1) X=kのとき確率が最大とすると、

  

よって、8回のとき最大。

(2) 平均値(期待値)は

  

8は平均50/6に最も近い整数である。

(解答終了)


タグ:統計

第5回 独立試行と二項分布 [ネコ騙し数学]

第5回 独立試行と二項分布


§1 独立試行の確率

1回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると、この試行をn回繰り返した場合、事象Ar回起こる確率

  

である。

 


問1 袋の中に赤球1個、白球4個が入っている。この中から1個取り出して、もとに戻すことを3回繰り返す。この場合、赤の出る回数をXとして、Xの確率分布を求めよ。

【解】

取り出した球を戻すので、赤球の出る確率p=1/5、白球の出る確率q=4/5

この問題の場合n=3

Xの取りうる値は0123

X=rの時の確率をP(X=r)と書くことにすると、
  statics-05-01.png

したがって、確率分布は次のようになる。

  statics-tab-05-01.png

(解答終了)


この問題には出ていないけれど、赤球の出る回数rの期待値m

  

である。


§2 2項分布


変量X01、・・・・・・、nの値をとり、それらの値をとる確率が

  

で与えられる確率分布を2項分布という。

その平均・期待値m、標準偏差σ

  

である。

(2)、(3)を使えば、問1の平均値、標準偏差は

  

と、複雑な計算をすることなく、すぐに求めることができる。

 


【(2)の証明】

  

2項定理より

  statics-05-02.png

xで微分すると、
  statics-05-03.png

x=1を代入すると、

  

p+q=1だから

  

(証明終わり)

【(3)の証明】

  

また、

  

よって、
  

ここで、①の両辺をxで微分すると、

  statics-05-06.png

x=1を上式に代入すると、

  statics-05-07.png

これを②に代入すると、

  

(証明終わり)


問2 10%の不合格品を含む同じ製品の一山がある。この中から任意に4個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の数Xで確率分布の表で示し、Xの平均値、標準偏差を求めよ。

【解】

X=rである確率

  statics-05-08.png

したがって、確率分布表は

statics-tab-05-02.png

  

したがって、平均値=0.4、標準偏差=0.6

(解答終了)



問題 1回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、n回の試行の内、事象Aが最も起こりやすい回数を求めよ。

【解】

r=kのとき、確率が最大になるとすると、

  

したがって、

  

そこで、①より
  statics-05-09.png

②に対しては、③のkk+1と置き換えて、不等号の向きを入れ替えると、

  

③と④より、

  

を満たす整数kのとき、事象Aは最も起こりやすい。

(解答終了)



問3 1個のさいころを40回投げるとき、1つの目が何回出る確率が最も高いか。

【解】

n=40p=1/6

(4)より
  statics-05-10.png

よって、6回のとき確率は最大になる。

(解答終了)
タグ:統計

第4回 確率分布2 [ネコ騙し数学]

第4回 確率分布2


分布関数と確率密度関数


変数Xが連続な値をとるとき、X連続型の確率変数といい、X<xである確率P(X<x)

  

で与えられるとき、F(x)分布関数といい、その導関数

  

x確率密度関数という。

  

だから

  

で、xがある範囲にに存在する確率は、y=f(x)のグラフのその範囲の面積と等しい。

変数Xの変域をa≦x≦bとし、確率密度関数をf(x)、平均をm、分散をσ²とすると、

  s-siki-04-01.png

である。

  

となり、

  

と書くと、分散V(x)

  

になる。

 


問題1 確率変数Xの従う確率分布の密度関数f(x)

  s-siki-04-08.png

であるとき、次の問いに答えよ。

(1) P(3≦X≦5)の値を求めよ。

(2) P(7≦X)の値を求めよ。

(3) Xの平均E(X)を求めよ。

(4) Xの標準偏差D(X)を求めよ。

【解】


(解答終了)


問題2 あるバスの停留所の発車時刻は毎時0分、15分、35分の3回である。この発車時刻をまったく知らない人が、停留場へ来て待たされる時間の期待値を求めよ。

【解】

この人が停留所に来る時刻をx分とすると、待ち時間t

  

確率密度f(x)は一様分布と考えられるので、

  

とすると、

  

したがって待ち時間の平均・期待値E(t)
  

(解答終了)



問題3 連続的な値をとる確率変数xがあって、その確率密度がAを定数として、

  s-siki-04-05.png

とするとき、となるようなaの値を求めよ。

【解】
  s-siki-04-06.png

したがって、

  s-siki-04-09.png

a=0.2とすると、

  

よって、a=0.2

(解答終了)


なのですが、a=0.2であることに気づく人はどれだけいるのだろう。

  

試験会場で、これはチョット気づかないだろう。

条件より0<a<0.5で、

  

だから、a=0.2と気づけということか。

とおくと、

  

s-tab-04-01.pngだから、ニュートン法

  

を用い、x₀=0として計算すると、次のようになる。

計算の初期値としてx₀=0.232を選べば、1、2回計算すれば、a=0.2であることに気づくのではないか。



問題4 半径aの円Oの周上の1点Aから任意の方向に弦を引くとき、それらの弦の長さの平均を求めよ。

また、弦の長さが半径より大となる確率を求めよ。

【解】

statics-fig-01.png円の中心Oを原点、A(−a,0)B(a,0)とし、周上の点をPとする。

APx軸のなす角をθ(−π/2≦θ≦θ/2)とすると、弦APの長さl

  

θを確率変数とし、一様分布

  

と仮定すると、

  

したがって、弦の長さの平均は
  s-siki-04-07.png

AP>aになるのは、

  

したがって、弦の長さが半径より大きい確率は

  

(解答終了)

第3回 確率変数と確率分布 [ネコ騙し数学]

第3回 確率変数と確率分布


§1 確率変数と確率分布


1〜6の目をもつサイコロを振り、出た目をXとすると、Xの目が出る確率は、次のようになる。

  s-tab-03-01.png

たとえば、X=1と、Xの値が決まれば、その確率

  

と定められる。

より一般的に書くと、次のようになる。

  s-tab-03-02.png

の値をとる変数Xに対して、の確率が与えられているとき、Xを確率変数という。また、確率変数Xとそれに対応する確率との対応関係を確率分布という。


確率変数のとる値がであるとし、それに対応する確率をとするとき、

  

である。

 


問1 1枚の硬貨を2回投げるとき、表の出る回数を確率変数Xとして、Xの確率分布を求めよ。

【解】

(1回目の結果、2回目の結果)と書くことにすると、全事象は、(裏,裏)、(裏,表)、(表,裏)、(表,表)の4通り。

表が0回出るのは、(裏,裏)の1通り。

したがって、表が0回出る確率は

  

表が1回出るのは、(裏,表)、(表,裏)の2通り。

したがって、表が1回出る確率は

  

表が2回出るのは(表,表)の1通り。

したがって、表が2回出る確率は

  

よって、確率分布は次の通り。

  s-tab-03-03.png

(解答終了)


問2 10本のくじがあって、そのうち、2本が当たりくじとする。3本引いてあたった回数をXとするとき、X本当たる確率を求めよ。

【解】

  

したがって、

  s-tab-03-04.png


(解答終了)


§2 期待値(平均値)と分散、標準偏差


確率変数Xの値をとり、それに対応する確率がであるとき、

  

E(x)mなどであらわし、確率変数の平均値、期待値という。

また、

  

V(x)σ²で表し、確率変数の分散という。

また、分散の正の平方根

  

を標準偏差という。

問3 白球4個と赤球3個が入っている袋から2個の珠を同時に取り出すとき、その中に含まれる白球の個数の確率分布を求めよ。また、期待値を求めよ。

【解】
s-tab-03-05.png取りざされる白球の個数をk=0,1,2)に対応する確率をとする。

  

したがって、平均値m

  

(解答終了)

ちなみに、分散Vと標準偏差σ

  

(解答終了)


問題 1と書いたカードが1枚、2と書いたカードが2枚、・・・・・・、nと書いたカードがn枚ある。この中から1枚取り出すとき、カードの示す数Xを確率変数とする。

(1) X=kである確率を求めよ。

(2) Xの平均値を求めよ。

【解】

(1) カードの数は全部で

  

したがって、

  


(2) Xの平均値m

  

(解答終了)

タグ:統計

第2回 標準偏差と分散 [ネコ騙し数学]

第2回 標準偏差と分散


statics-tab-02-11.png右の(度数)表に表される、2つの異なる試料の集団ABがあるとする。

この度数表を元にABの平均値を計算すると、A48.5B47.2とそれほど変わらない。

また、最頻値・モードは45、メディアン・中央値も45である。

それにも関わらず、度数多角形(度数折れ線グラフ)を見ると、資料の値のバラツキ、散らばりの具合が集団Bの方が大きいことがわかる。


statics-graph-02-01.png

こうした資料の値の散らばりの度合いを示す数を分散度といい、標準偏差はその最も代表的なものである。


N個のの数の平均をmすなわち

  

とすると、標準偏差σは、

  

である。

statics-tab-02-12.png問1 5891414の標準偏差を求めよ。
【解】

平均値m

  

したがって、平均値からの偏差は、それぞれ

−5、−2、−144

だから

よって、標準偏差は3.5

(解答終了)



問2 標準偏差は、次の式を用いて計算できることを示せ。

  

【解】

  

右辺第2項は

  

右辺第3項は

  

よって、

  

(解答終了)

この公式を用い、問1の標準偏差を計算すると、

  

となり、計算結果は一致する。

変量Xの値をの度数分布表が次のようであるとき、Xの平均値をm、すなわち、

  s-siki-02-01.png

とすると、標準偏差σ

  s-siki-02-02.png

s-tab-02-03.png問3 右の度数分布表から標準偏差を求めよ
【解】

statics-tab-02-13.png

  

  

よって、標準偏差は15.5

(解答終了)


問4 変数xのとる値を、それぞれの度数をとし、

  

とおく。

xの平均値をm、標準偏差をσとするとき、

  

であることを証明せよ。

【証明】

  s-siki-02-03.png

(証明終了)


タグ:統計

第1回 資料の整理 [ネコ騙し数学]

第1回 資料の整理


§1 資料の整理


度数分布表

右の図のように、資料をいくつかの階級(区間)に分け、階級ごとの度数を表にしたもの。

ここでの階級010は0以上10未満であり、階級の幅は10である。


s-tab-01-01.png

ヒストグラム

横軸に資料の数値、縦軸に度数をとり、階級の幅を1辺、その階級の度数を高さとする長方形を書き、度数の分布を表したグラフ。

長方形の面積は、度数に比例する。


statics-graph-01-01.png


度数分布多角形

ヒストグラムの各長方形の城辺の頂点を順に結び、両端では階級の幅の半分だけ外側に点をとって結んだもの。

各長方形の面積の和と度数多角形の面積の和は等しい。


相対度数

  


累積度数

各階級までの度数の和を、その階級の累積度数という。


statics-graph-01-02.png


§2 代表値


階級値

階級の中央の値

上の度数分布表の階級10–20の場合、

(1) 10≦x≦19と考えると

  

(2)10≦x<20と考えると

  

の2通りが考えられる。

(2)を採用することにする。


平均値

資料の値の総和を資料の総数で割った値

N個の値があるとき、平均値m

  

である。


s-tab-01-02.png度数分布表から平均値を求めるには、階級値と度数を用いて

  

と計算する。

モード(最頻値)

度数分布表で最も階級値が大きい階級値


上の例だと、度数が最も大きい階級は40〜50だから、その階級値である45がモードになる。


メディアン(中央値)

資料を大きさの順にならべたとき、中央にくる数値。

資料の個数が偶数個のとき、中央の2つの値の平均値とする。


例えば、資料が

  

が5個の場合、3番目の21がメディアン(中央値)になる。

また、

  

と資料の数が6個で偶数の場合、3番目の21と4番目の22の平均値

  

がメディアンになる。


例えば、右s-tab-01-01.pngの表の場合、資料の個数は100だから、中央の2つの値は、資料の値の順にならべた、50番と51番目の値。

累積度数を見ると、これは階級40〜50に属するので、メディアンはその階級値である45になる。
 ――この値は中学数学レベルの話!!――


私が高校時代に使っていた(受験参考書)にしたがうと、以下のように求める。


総数100100÷2=50

累積度数を見ると、これは4050の階級に属する。

この区間幅は10で、この階級に属する資料の数は22個だから、階級4050では40から一様にずつ得点が上昇していると考え、

  

をメディアンと定める。

資料の数が100で偶数だから50番目と51番目の真ん中を50.5番目と考え、

  

とするほうがいいのでしょう。
ちなみに、この度数分布表を作成するにあたって用いたデータ

――平均値50、標準偏差20の正規分布もどき――

の50番目と51番目の値は45。

中学数学レベルのメディアンの値が元のデータと一致している!!


また、度数分布表から計算した平均値は47.2であるが、元の資料の平均値は46.68で一致しない。

(2)ではなく(1)の階級値を採用すると、平均値は46.7となり、この資料の場合、(1)の階級値を採用したほうが精度は高いようだ。

s-tab-01-05.png

s-tab-01-04.png


s-tab-01-03.png問題 右の表から平均値、モード、メディアンを求めよ。

【解】

右の表を元に、次の表を作る。


s-tab-01-05.png

すると、平均値は58点。

モード(最頻値)は55点。

資料の個数は40なので、中央の値は20番目と21番目の値の平均値。

これは階級値55に属するので、(中学数学の)メディアン(中央値)は55点。

高校数学レベルのメディアンは

  

または、

  

(解答終了)

第15回 数列と確率 [ネコ騙し数学]

第15回 数列と確率


確率と数列の極限の問題を幾つか紹介し、それを解くことにする。


問題1 1つのさいころを振って1が出れば甲の価値、6が出れば乙の勝ちとして、さいころを振ることを止め、1と6以外の他の目が出たら、繰り返して降るものとする。

(1) さいころを振る回数をn回までとしたとき、甲の勝つ確率を求めよ。

(2) 回数を制限しないとき、甲の勝つ確率を求めよ。

【解】

(1)

  

したがって、甲が1〜n回で勝つ確率

  


(2)

  

よって、甲が勝つ確率は1/2である。

(解答終了)


甲がk回目で勝つ場合は、k−1回連続で25の目が出て、k回目に1が出る場合。

2〜5の目が出る確率は

  

したがって、k−1回連続で2〜5の目が出る確率は

  

k回目に1が出る確率は1/6だから、甲がk回目で勝つ確率は

  

である。

 


問題2 ある人が射的をする。一度命中した次に引き続き命中する確率は0.8であり、外れた次に引き続き外れる確率は0.4であるという。第n回目が命中であったときの確率をとするとき、次の問いに答えよ。

(1) を用いて表せ。

(2) を求めよ。

【解】

(1) 命中した次に命中する確率は0.8

外した後に命中する確率は1−0.4=0.6

n−1回目が命中の確率

n−1回目がはずれである確率

したがって、n回目が命中である確率

  

ここで、

  

を解くと

  

①の両辺から3/4を引くと

  

したがって、数列は初項、公比の等比数列。

よって

  


(2)

  

(解答終了)

 


問題3 AB2人が、ABの順で交互にさいころを振り、最初に1の目が出た人を勝ちとする。ABの勝つ勝率を求めよ。

【解】
p=1/6
とすると、Aが勝つパターンは下の表のようになる。



よって、Aが勝つ確率P

  

これは初項p、公比(1−p)²の等比級数の無限和だから

  

p=1/6だから

  

Aの勝率は6/11

したがって、Bの勝率は

  

(解答終了)

つまり、このゲームは先攻の方が有利ということになるのであった。


タグ:確率 極限 数列

確率の初歩8 問題編3 [ネコ騙し数学]

確率の初歩8 問題編3


問題1 熊を射ちに行った猟師がある。ねらった銃弾が命中する確率が1/3であるとすると、何発かの弾丸を射って、少なくとも1発命中する確率が0.9以上にするには、何発射てばよいことになるか。

ただし、とする。

【解】

n発中少なくとも1発命中する事象は、n発全弾外す事象の余事象である。

ねらった銃弾が命中しない確率は

  

したがって、n発全弾が命中しない確率は

  

したがって、n発中射った弾が少なくとも1発命中する確率は

  

これが0.9以上にならばよいので

  

両辺の常用対数を取ると

  

よって、6発。

(解答終了)



問題2 ある高等学校で生徒の血液型を調べたら、O型の者が30%、A型の者が40%であった。この高等学校の生徒3人を無作為に選び出すとき、次の確率を求めよ。

(1) 少なくとも1人がA型である確率

(2) 2人がA型で1人がO型である確率

(3) 1人がA型、1人がO型、残りの1人がA型でもB型でもない確率。

【解】

(1) 3人ともA型でない確率は

  

よって、少なくとも1人がA型である確率は

  


(2) 3人の内、2人がA型、1人がO型である順列の数は
  

だから、3通り。

したがって、2人がA型で1人がO型である確率は

  


(3) 1人がA、1人がO型、1人がA型でもO型でもない順列の数は3=6

したがって、この確率は

  

(解答終了)

(2)、(3)の補足説明をする。


(2) 選んだ3人が(A,A,O)の順だとする。生徒数が多ければ1人くらい抜き出しても、生徒に占めるA型の生徒の割合はほとんど変わらない、等しいとみなすことができる。

したがって、この確率は

  

と考えることが可能。

この他に、(A,O,A)、(O,A,A)の2通りがあり、それぞれの確率が

  

となる。

つまり、①を3倍したものがこの確率になるというわけ。


(3)は、A(割合0.4)、O(割合0.3)確率、AでもOでもない人(割合0.3)の並び、順列が3!=6通りあるので

  

を6倍したものが、その確率となる。

 


問題3 20歳の男子が30年以上生存する確率を2/3として、20歳の男子4人のうち、3人以上が30年以上生存する確率を求めよ。

【解】

4人のうち3人が30年以上生存する確率P₃

  

4人が30年以上生存する確率P₄

  

したがって、4人のうち3人以上が30年以上生存する確率は

  

(解答終了)

 


問題4 nn≧2)個の正しく作られた硬貨を同時に投げるとき、”すくなくともn−1個裏が出る”という事象をA、”すくなくとも1回表が出るが全部表でない”という事象をBとし、AかつBという事象をA∩Bとあらわすことにする。

(1) を求めよ。

(2) 事象ABが独立、従属であるときの自然数nを求めよ。

【解】

(1) 事象Aは表が0または1個出る事象だから

  

また、事象Bは、”n個が全部裏”または”n個全部が表”である事象の余事象。

n個すべてが表、裏である確率は

  

したがって、事象Bの確率は

  

事象A∩Bn個のうちの1個が表である事象だから、その確率は

  


kaku-10.png(2) 事象Aと事象Bが独立である必要十分条件は

  

したがって、

  

よって、n=3のとき、ABは独立。

nが3以外のとき、ABは従属。

(解答終了)


タグ:確率

確率の初歩7 問題編2 [ネコ騙し数学]

確率の初歩7 問題編2



問題1 Aの箱には1個の赤球と2個の青球と3個の白球が入っている。Bの箱には10本のくじが入っていて、そのうち3本が当たりくじである。

Aの箱から1個の珠を取り、それが赤であれば同時3本、青であれば2本、白であれば1本のくじをBの箱から引けるものとする。

(1) ちょうど1本当たる確率を求めよ。

(2) 少なくとも1本当たる確率を求めよ。

【解】

(1) Aから赤が出てBから1本だけ当たる事象、Aから青が出てBから1本だけ当たる事象、Aから白が出てBから1本だけ当たる事象の確率は、それぞれ、

  

3つの事象は互いに排反なので、求める確率は、

  


(2) Aから赤が出て1本も当たらない事象、Aから青が出て1本も当たらない事象、Aから白が出て1本も当たらない事象の確率はそれぞれ

  

3つの事象は排反なので、1本も当たらない確率は

  

少なくとも1本当たる事象は、1本も当たらない事象の余事象なので、求める確率は

  

(解答終了)

 


問題2 5個のABCDEを、横に1列に出たらべにならべたとき、次のものを求めよ。

(1) ABの右にあり、同時にCDより右にある確率。

(2) ABが隣り合わせにならない確率。

【解】

(1) ABCDEの5個をならべる順列の総数は5!通り。

ABの右にあり、同時にCDより右にある順列の個数は

  

よって、求める確率は

  


(2) ABが隣り合わない事象は、ABが隣り合う事象の余事象。

ABが隣り合う順列は、ABを1個と考え、4個の順列を考えれば良いので、4!通り。

したがって、ABが隣り合う確率は

  

よって、ABが隣り合わない確率は

  

(解答終了)

(※)
次の5つの□のうちに1個を選び、まず、Eをおく。

□□□□□

これには通りの選び方がある。

つぎに、4個の内の2つを選び、BAの順序に置く。この選び方は

  

残りの2個から2個選び、DCの順序でおく。この選び方は

  

したがって、ABの右に、CDの右にある並び方は

  

通り。

もっと大胆に考えるならば、ABを同じ種類、CDを同じ種類と考え、ABCDを区別しなければよい。区別するから、右・左の順序が生じる。

このように考えると、同じ種類のものを含む順列の公式より

  

であることが分かる。

 


問題3 1つのさいころを4回投げ、1回目に出た目の数をa、2回目に出た目の数をb、3回目に出た目の数をc、4回目に出た目の数をdとする。

(1) a+b+c+dが偶数になる確率を求めよ。

(2) abcdが偶数になる確率を求めよ。

【解】

(1) a+b+c+dが偶数になるのは、4回さいころを投げたうち、「偶数の目が4回出る」場合と「偶数の目が2回、奇数の目が2回出る」場合と、「偶数の目が0回出る」場合。

偶数の目が出る確率p

  

「偶数の目が4回出る」確率は

  

「偶数の目が2回、奇数の目が2回出る」確率は

  

「偶数の目が0回出る」確率

  

したがって、求める確率は

  


(2) abcdが偶数になる事象の余事象は、「abcd」がすべて奇数である事象。

4回奇数が出る確率は

  

よって、abcdが偶数である確率は

  

(解答終了)

「偶数の目が0回出る」確率

  

と書いたけれど、この事象は奇数の目が4回続けて出る事象のことだから、奇数の目が4回続けて出る

と等しい。



タグ:確率

確率の初歩6 問題編1 [ネコ騙し数学]

確率の初歩6 問題編1



問題1 1つの袋に赤球3個、白球が7個入っている。この袋から1球取り出し、それが赤球ならばそれで終わりとし、白球ならばそれをもとに戻さないでもう1球取り出すものとする。このとき赤球を取り出す確率を求めよ。

【解】

赤球が出るのは、1回目で赤の場合と、「1回目で白球、2回目で赤球」の場合。

1回目に赤球を取り出す確率は

  

2回目に赤球を取り出す確率は

  

よって、赤球を取り出す確率は

  

(解答終了)

 


問題2 赤札10枚、白札7枚、青札5枚の計22枚の札がある。この中から4枚取り出すとき、次の事象の確率を求めよ。

(1) 4枚とも赤である。

(2) 4枚の札の中にどの色の札も入っている。

【解】(1) 赤札10枚から4枚取り出す組み合わせは通り、22枚から4枚札を取り出す組み合わせは通り。

したがって、4枚とも赤である確率は

  


(2) 4枚の札の中にどの色も入っているのは、「赤札2枚、白札1枚、青札1枚」の場合、「赤札1枚、白札2枚、青札1枚」の場合、「赤札1枚、白札1枚、青札2枚」の場合である。

赤札2枚、白札1枚、青札1枚の場合の確率

  

赤札1枚、白札2枚、青札2枚の場合の確率

  

赤札1枚、白札1枚、青札2枚の場合の確率

  

よって、求める確率は

  

(解答終了)


問題3 白黒2種の同質の球がある。白球10個と黒球5個を入れたよくかき回し、目をつぶって3個の球を取り出すとき、少なくとも1個は白球である確率を求めよ。

【解】

少なくとも1個白球である事象は、取り出した球がすべて黒球である事象の余事象。

3個取り出した球がすべて黒である確率は

  

したがって、少なくとも1個は白球である確率は

  

(解答終了)

 


問題4 2つの事象ABが独立であるとして、Aは起こらないがBは起こる確率をpABも起こらない確率がqとおく。このとき、Aの起こる確率、Bの起こる確率を、pqであらわせ。

【解】

Aの起こる確率をxBの起こる確率をyとする。

さらに、Aの余事象、Bの余事象を、それぞれ、であらわすことにする。

  

①+②

  

①と③より

  

(解答終了)

 


問題5 平均して3問中2問解く能力を持つ学生が、3問の出題で少なくとも2問解ければ合格、正解1問以下では不合格という試験を受けるとき、合格する確率を求めよ。

【解】

合格するには、3問、または、2問正解でなければならない。

3問解ける確率は、

  

2問解ける確率は

  

したがって、合格する確率は

  

(解答終了)


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