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第8回 ベータ関数入門2 ベータ関数の重要な性質 [ネコ騙し数学]

第8回 ベータ関数入門2 ベータ関数の重要な性質


まず、ベータ関数の定義を与える。


定義

p>0q>0に対して

  

で定義されるB(p,q)をベータ関数という。

さて、ベータ関数には次の重要な性質がある。


定理 ベータ関数B(p,q)は次の性質を満たす。

(1) 任意のp>0q>0に対して

  

(2) 任意のp>0q>0に対して
  kougi-08-01.png

(3) 自然数mnに対して

  

【証明】

(1) t=1−xとおくと、x=0t=1x=1t=0に対応し、

  

だから、(1)を置換積分すると、

  kougi-08-02.png


(2) 1=x+(1−x)だから

  

である。

したがって、

  

0<s<t<1とおき、次の積分を部分積分すると

  

また

  

だから、
  

したがって、

    

(3) (2)より

  

また、

  kougi-08-07.png

だから、

  

(証明終了)



nを自然数とするとき、ガンマ関数には次の性質がある。

  

上の定理の(3)にこの関係を適用すると、

  

この関係が自然数mnだけでなく、正の実数pqに対して

  

が成立するかどうかだ。

 


定理 p>0q>0に対して

  

である。

【証明】

  

したがって、
  

ここで、x=rcosθy=rsinθとおき極座標変換をすると、

  

となり、積分領域が

  

と変わるので、
  

【証明終了】



上記の定理中の

  

というベータ関数とガンマ関数の関係式は、定積分の計算に活用できる非常に便利で強力な公式である。

たとえば、

  

という定積分はベータ関数のp=4q=5の場合だから、
  

と、積分の計算をすることなく、簡単な階乗の計算で定積分の値を求めることができる。

のみならず、ベータ関数を用いることにより

  

であることを簡単に証明できる。

m=1n=1のとき

  

この公式は、大学入試の重要公式である。


ベータ関数

  

に対して

  

として置換積分を適用すると、

  

0<a<1とし、p=aq=1−aとおくと
  

複素解析から右辺の広義積分は

  

したがって、

  


a=1/2を(4)に代入すると
  kougi-08-14.png


f(x)の導関数f'(x)が奇関数のとき、f(x)は偶関数か?の解答(怪答) [ネコ騙し数学]

【お前らに質問!!】 f(x)の導関数f'(x)が奇関数のとき、f(x)は偶関数か?の解答(怪答)

【反例】

  

とする。


hanrei-graph-01.png


この関数f(x)の導関数f’(x)

  

となり、f'(x)は奇関数。


hanrei-graph-02.png


 


私は、f'(x)が連続であるとも、f(x)が実数全域で微分可能だとも言っていません。ただ、f(x)の導関数f'(x)が奇関数だ、y=f'(x)のグラフが原点対称だと言っただけですよ(^^ゞ
そんな条件は上の命題の中のどこにも書かれていない!!


「この質問は引っ掛けだ。卑怯だ!!」


反論、ごもっとも。

しかし、関数のグラフが繋がっていること、関数が連続であることの大切さがわかったんじゃないですか(^^)


そして、
今日ほど、この曲がふさわしい日はないのではないでしょうか♪




あまり挑発的なことを書いて、反感を買うといけませんから、すこしご機嫌取りを。




「いつもあなたの味方です」のネムネコです。



ねむねこ幻想郷の皆さんにお尋ねしますが、 f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数か? [ネコ騙し数学]

ねむねこ幻想郷の皆さんにお尋ねしますが、
f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数でしょうか?


例えば、

  

ならば、

  

となる。

これはf(−x)=f(x)が成立するから、f(x)は偶関数。


また、

  

のとき、

  

だから、このときもf(−x)=f(x)が成立する。

次の命題は正しそうな臭いがいがプンプンする。


命題

f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数である

 


さて、この命題は正しいか。


正しければ証明を、正しくなければ反例をあげよ。


ちなみに奇関数とは

  

が成立する関数。

偶関数は

  

奇関数の代表的な例としてf(x)=x、偶関数の代表例はf(x)=x²がある。


タグ:微分積分

第7回 ベータ関数入門1 [ネコ騙し数学]

第7回 ベータ関数入門1


p>0q>0のとき、

  

が絶対収束することを証明する。

【証明】

p≧1q≧1のとき、通常の積分である。

そこで、

  

と分けて考える。

0<p<1のとき、

  

だから、

  

は広義積分である。

また、0<q<1のとき

  

だから、

  

は広義積分である。

0<p<1
のとき、0≦x≦1/2とすると、1/2≦1−x≦1である。

q>1のとき、

  

0<q<1のとき

  

である。

以上のことより、q>10<q<1のいずれであろうと、

  

であり、

  

0<p<1のとき、t>0とすると、
  kougi-07-01.png

だから、広義積分

  

は絶対収束する。

次に

  

を考える。

0<q<1とする。

1/2≦x≦1とする。

p>1のとき、

  

0<p<1のとき

  

いずれにせよ

  

したがって

  

0<t<1とすると
  

したがって、広義積分

  

は絶対収束する。

以上のことより、p>0q>0のとき

  kougi-07-03.png

は絶対収束し、

  

は絶対収束する。

(証明終了)


なお、上の証明では次の定理を使っている。


定理2(比較判定法)

関数f(x)g(x)(a,b]で不定積分をもち、

  

であるとする。

このとき広義積分が収束すれば、広義積分も収束する。

区間[a,b)[a,∞)(−∞,b]についても同様である。


ベータ関数の定義

p>0q>0に対して

  

で定義されるB(p,q)をベータ関数という。

さて、x=sin²θとおくと、

  

だから
  


また、
  
とおくと、

  

したがって、
  

とベータ関数B(p,q)を定義することができる。



問 次の広義積分の値を求めよ。

  

【解】

  

だから、(2)式にp=1/2q=1/2を代入すると、
  kougi-07-06.png

(解答終了)


この広義積分の値を求められますか? ガンマ関数、ベータ関数の序論にかえて [ネコ騙し数学]

次の広義積分の値を求めるのは一見簡単そうですが、この値を求められますか?


問題 次の広義積分の値を求めよ。

  

【解】

x=sin²θとおき、x=0のときθ=0x=1のときθ=π/2とすると、

  

そして、

  

となるから、

  

(解答終了)

これは、広義積分だから、実際はもう少し真面目に計算しないといけないけれど、まぁ、こうなる。

 ――うるさいことを言うやつの口封じをするために、x→0+0のときθ=0+0x→1−0ときθ=π/2−0――

x=sin²θという変数変換を思いつけば簡単に解けるけれど、しかし、この変換を自力で思いつける奴はそうそういないだろう。


ベータ関数やガンマ関数を知っている人は、

  

と、この広義積分の値を求めるかもしれない。

そして、x=sin²θという変換は、このベータ関数の中で出てくるものだ(ベータ関数の三角関数表示)。


これまで長々と広義積分の話をしてきたのは、このガンマ関数Γ(s)とベータ関数B(p,q)という新しい関数導入の下準備。

今日から、こういった話になるので、少し面白くなると思うにゃ。

そして、取ってつけたようなラプラス変換の話までする予定です。


なお、
上の広義積分は次のように値を求めることもできる。
  

だから、

  

上の計算では

  

という積分の公式を使っている。


こちらも、広義積分なので、もう少し細かい議論が必要になるが・・・




やるからには、ちゃんとやるケロ!!

第6回 ガンマ関数入門 [ネコ騙し数学]

第6回 ガンマ関数入門


s>0に対して

  

は収束し、(1)式で定義される関数Γ(s)ガンマ関数という。

ガンマ関数の性質を調べることにする。


まず、s=1のときのガンマ関数の値を求めることにする。

  


また、

  

を部分積分すると、

  

したがって、s>0のとき

  

である。

特に、sが自然数nであるとき、(2)式から

  

このことから、ガンマ関数は階乗を拡張したものと考えることができる。

もし

  

と微分と積分の順序の交換が許されるのであれば(証明はしないが、事実、許される)、

  

だから、

  

となり、同様にn次導関数は

  

である。

特にn=2のとき、

  

となり、ガンマ関数Γ(s)は(下に)凸である。

さらに、(1)の変数をx=t²と変換すると、

  

よって
  

s=1/2のとき

  

である。


(2)式より

  

したがって、

  

そして、ここで

  

と定義すると、

  

となる。


2重階乗を使わず(4)式を書き換えると、

  



実関数としてのガンマ関数Γ(s)は、s>0で定義されるが、(2)式を

  

と書き換え、s=−1/2を代入すると、

  

と、ガンマ関数をs<0に拡張が可能である。

参考までに、s<0まで解析接続によって拡張されたガンマ関数Γ(s)とその逆数1/Γ(s)のグラフを以下に示す。

なお、下のグラフでは横軸にxをとっている。


 




第5回 広義積分の問題 [ネコ騙し数学]

第5回 広義積分の問題


問題1 次の広義積分の値を求めよ。

【解】

(1) 0<t<1とすると

  


(2) 3<t<5とすると

  

(解答終了)



問題2 次の広義積分の収束、発散を判定せよ。

kougi-05-00.png

【解】

(1) (0,1]


広義積分は発散するので、広義積分も発散する。


(2)

  

だから、

  

とすると、

  

g(x)[0,1]で連続だから積分可能で、は収束する。


(3) 0<t<π/2とすると

  

よって、広義積分は発散する。


(4) t>2とすると

  

よって、発散する。


(5) t>2とすると

  

(6) x≧π/2

  

は収束するので、も収束する。


(7)

  

0<x≦1のとき

  

だから、
  kougi-05-05.png

とおくと、(0,1]

  

[0,1]g(x)は連続で積分可能だから、広義積分は収束する。

また、x≧1

  

広義積分は収束するので、は収束する。

したがって、広義積分は収束する。

(解答終了)

第4回 広義積分の収束判定法2 [ネコ騙し数学]

第4回 広義積分の収束判定法2


定理4 区間(a,b]f(x)は連続で、

(1) 0<λ<1であるλについてが有界ならば、広義積分は(絶対)収束する。

(2) 0<λ<1であるλについてが有界ならば、広義積分は収束する。

【証明】

(1) 仮定によってaの近傍a<x<a+δδ>0)で

  

となる正数Mが存在する。

したがって、

  

0<λ<1だから、

  kougi-04-02.png

と収束し、定理2、定理3により広義積分は収束する。


(2)は略。

(証明終了)


定理5 区間[a,∞)においてf(x)は連続で、λ>1であるλに関してが有界ならば広義積分は収束する。

【証明】

仮定より、十分大きなxに関して

  

となる正の定数Mが存在する。

よって、

  

t>aとすると
  kougi-04-03.png

λ>1のとき

  kougi-04-04.png

と収束するので、広義積分は収束する。

(証明終了)

 


問題 次の問いに答えよ。

(1) 0<s<1のとき広義積分が収束することを示せ。

(2) 0<s<1のとき広義積分が収束することを示せ。

【解】

とする。


(1) 0<x≦1において

  

よって、定理4より広義積分は収束する。


(2) x≧1

  

また、x≧1は有界だからも有界。

したがって、定理5より広義積分は収束する。

(解答終了)

以上のことから、0<s<1のとき

  

は収束する。


無理やり定理4、定理5を使っている(^^


(1)は、次のように解くのがいいのでしょう。

【(1)の別解】

とおくと

0<s<1のとき、x>0f(x)は単調減少。

したがって、0<x≦1のとき

  

また、0<s<1より−1<s-1<0だから広義積分は収束する。

よって、広義積分は収束する。

(別解終了)

ここからは、s>0についての一般論。


s=1のときだから

  kougi-04-05.png

s>1のとき、f(x)は閉区間[0,1]で連続だからは通常の積分でこの値は存在する。


したがって、の収束を議論すればよい。

をマクローリン展開すると

  kougi-04-06.png

したがって、x≧0では

  

というこで、t>1とすると、s<nとなる正の整数nをとると、
  

n−s>0だから

  kougi-04-08.png

したがって、広義積分は収束する。


以上のことから、s>0のとき

は収束する。

そして、これをガンマ関数という。


すこし議論が錯綜しておりますが(^^


第3回 広義積分の収束判定法 [ネコ騙し数学]

第3回 広義積分の収束判定法


広義積分の収束判定に関する定理を幾つか紹介することにする。


定理1

関数fを半開区間(a,b](あるいは[a,b))で連続とする。が収束するための必要十分条件は、任意の正数εに対して正数δが存在が存在し、a<p<q<a+δ(またはb−δ<p<q<b)に対して

  

が成り立つことである。


定理2(比較判定法)

関数f(x)g(x)(a,b]で不定積分をもち、

  

であるとする。

このとき広義積分が収束すれば、広義積分も収束する。

区間[a,b)[a,∞)(−∞,b]についても同様である。

【証明】

a<t<bとする。
  kougi-03-01.png

とすると、広義積分が収束するので、

  kougi-03-02.png

であり、は収束する。

したがって、定理1より任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して
  kougi-03-03.png

よって、

  kougi-03-04.png

となり、、つまり、広義積分は収束する。

[a,b)[a,∞)(−∞,b]についても同様である。

(証明終了)



このような関数g(x)優関数という。


蛇足ながら、条件|f(x)|≦g(x)a<x≦b)より、a<x≦bにおいてg(x)≧0だから

  kougi-03-05.png

となり、

  

である。


定理3

関数f(x)(a,b]で不定積分をもち、広義積分が収束すれば広義積分も収束する。

[a,b)[a,∞)(−∞,b]についても同様である。

【略証】

広義積分は収束するので、任意のε>0に対して、あるδが存在し、

   kougi-03-06.png

よって、

  kougi-03-07.png

[a,b)[a,∞)(−∞,b]の証明についても同様。

(略証終了)

 


問1 広義積分

  kougi-03-08.png

が絶対収束することを示せ。

【解】

x≧0のとき

  kougi-03-09.png

である。

また、
  kougi-03-10.png

は、t>0とすると

  kougi-03-11.png

となり、広義積分は収束する。

したがって、定理2より広義積分は収束し、広義積分は絶対収束する。

(解答終了)

 


問2 広義積分

  kougi-03-12.png

が収束することを示せ。

【解】
  kougi-03-13.png

と考える。

右辺第1項は[0,1]においてが連続なので通常の積分なので存在する。したがって、右辺第2項の広義積分

  

の収束判定をすればよい。

x≧1のとき

  kougi-03-14.png

α=3/2>1だから補題より広義積分は収束する。

したがって、定理2より
  kougi-03-15.png

は収束する。

よって、広義積分

  

は収束する。

(解答終了)



問3 広義積分

  

が条件収束することを示せ。

【解】

  

と分けて考えることにする。

右辺第1項の

  

については、(0,π/2]

  

であり、

  

とおけば、定理2より広義積分

  

は収束する。

したがって、広義積分

  

が収束することを示せばよい。

そこで、π/2<tとすると

  

ここで、

  

また、

  

であり、
  kougi-03-17.png

と収束するので、定理2より広義積分

  kougi-03-18.png

も収束する。

したがって、広義積分
  kougi-03-19.png

は収束する。

(解答終了)


第2回 広義積分の計算例 [ネコ騙し数学]

第2回 広義積分の計算例


問題1 次の広義積分の値を求めよ。

【解】

(1) t>0とすると
  

したがって、

  


(2) t>eとすると

  

ロピタルの定理より

  

よって、

  


(3) t>1とすると

  

ここで、

  kougi-02-04.png

だから、

  

(解答終了)



なお、

  

は、−x²=sとおき、置換積分を用いると

  


問題2 次の広義積分は収束するか。収束するならば、その値を求めよ。

  

【解(?)】

  

(解答?終了)

と、解いてはいけない。

何故ならば、x=0は連続でなく、公式

  

を使えないからだ。

(1)は、−1<s<00<t<1とすると

  

の意味であり、
  

で、ともに発散し有限の値をもたないのでは発散する。

また、0<t<1として
  

と計算することもできないので注意!!

何故だろうか?

 


問題3 次の広義積分は収束するか。収束するならば、値を求めよ。

kougi-02-09.png

【解】

(1) α=1のとき

0<t<1とすると、

  

だから

  

α≠1のとき

0<t<1のとき

  

ゆえに、

  


(2) α≠1のとき
  

α=1のとき

  kougi-02-11.png


(3)

  

と考える。

s>0とすると

  kougi-02-12.png

t>0とすると

  kougi-02-13.png

したがって、

  kougi-02-14.png

(解答終了)


問題3の(1)、(2)の結果をまとめると、次のようになる。



定理 αを実数とする。

(1) 広義積分が収束する必要十分な条件はα<1である。

(2) 広義積分が収束する必要十分な条件はα>1である。



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